Vemos el mundo bajo diferentes ángulos

A menudo hablamos de que las cosas se pueden contemplar desde diferentes puntos de vista. Esto ocurre con todas la facetas de la vida cotidiana sea un partido de fútbol o sea la situación política en Cataluña. Esto también sucede esto cuando hablamos de ver en el sentido estricto de la palabra. Voy a explicarlo.

Cuando vamos a una tienda a pedir un cable por ejemplo para una instalación eléctrica solicitamos un número concreto de metros; es decir hablamos de una medida de longitud. Si queremos un cristal solemos facilitar las medidas de este en centímetros o incluso en milímetros. Si hablamos de comprar una finca nos referiremos a su superficie en metros cuadrados o a las longitudes de sus lados en metros lineales y así sucesivamente. Sin embrago en la vida cotidiana pocas veces se habla de grados. Quizá porque las medidas de longitud son mucho más fáciles de comprobar que las medidas de ángulos.

Tal es la falta de costumbre del ciudadano medio para hablar de medidas angulares; que hace un tiempo alguien me preguntó por “los metros de variación” de la salida del Sol entre el invierno y el verano. En este caso concreto; la fluctuación de los puntos de salida del Sol en un lugar dado; lo más correcto es hablar de la fluctuación en grados. Otra cuestión es que esos grados de variación se puedan reflejar sobre el suelo o sobre una pared y después medir lo que proceda sobre ese suelo o esa pared.

La realidad es que un objeto cualquiera, una moneda por ejemplo la vemos bajo un ángulo concreto que es tanto mayor cuanto más cerca estamos de ese objeto. Una moneda de un euro por ejemplo que tiene un diámetro de 23 milímetros si la observamos a 230 centímetros, esto es a 2,3 metros y mirándola de frente la veremos bajo un ángulo de 0,57º; es decir prácticamente como vemos de grande la luna llena o el disco solar; que a efectos prácticos se ven bajo un ángulo de 0,5º.

A medida que vamos viendo la moneda más lejos ese ángulo disminuye. Lo mismo sucede con cualquier otro objeto; sea un vehículo, un edificio o una ciudad. Por este motivo al mirar una carretera o una vía férrea tenemos la sensación de que en la lejanía los bordes de estas tienden a juntarse.

Llegados a este punto hay una pregunta que es inevitable: ¿Cómo sabemos la medida de ese ángulo bajo el que vemos cualquier objeto?. Esta es la cuestión. Pues bien para cualquier estudiante de secundaria esto ha de ser “pan comido”; (luego lo veremos); pero para muchos ciudadanos de a pie me temo que no. Hay un modo muy sencillo pero engorroso a la vez de hacerlo. En el caso de la moneda de un euro por ejemplo dibujando un triángulo de base 23 milímetros y de altura 230 centímetros y dibujado de modo que reproduzca exactamente la situación (ver figura 1 adjunta). Necesitaríamos una extensión de papel mayor de dos metros, lo que ya es un inconveniente. Si estamos hablando de un árbol de varios metros de altura (cinco por ejemplo) y a una distancia de 20 metros por ejemplo, el asunto se complica mucho mas. En este caso deberíamos proceder a dibujar el árbol y la distancia a escala es decir representando sobre el árbol de modo que un centímetro represente un metro, por ejemplo Ver figura 2.Ninguna de las dos figuras está a escala.

PROCEDIMIENTO LOGICO Y FACIL

Así las cosas podría parecer que el asunto es complejo en extremo; pero como he dicho para un estudiante de secundaria hay un camino que es sencillísimo y máxime ahora que disponemos de esas calculadoras de bolsillo. Cuando yo aprendí hace décadas lo que son unas sencillas nociones de trigonometría elemental; se recurría a unas tablas que aparecían en los libros de matemáticas de la época, que pese a todo eran de manejo un tanto complicado. Ahora las calculadoras nos lo ponen mucho más fácil.

En el caso de la moneda de un euro vista de modo perpendicular y a 230 centímetros basta dividir 23 milímetros entre dos y el resultado dividirlo a su vez por 230 centímetros. Obtendremos la cifra de 0,005. Luego hallaremos el ángulo cuya tangente es 0,005 y en una fracción de segundo la calculadora nos indicará que es 0,286º. Multiplicaremos esta cantidad por dos y obtenemos un ángulo de 0,57º. Este es el ángulo bajo el cual veremos la moneda de un euro en este ejemplo. Aplicando el mismo cálculo al caso del árbol obtenemos 14,25º. Luego el árbol lo veríamos (14,25 dividido entre 0,57); 25 veces mas grande que la moneda de un euro. Lógicamente es preciso poseer unos conocimiento elementales de la rama de las matemáticas denominada trigonometría.

Ni que decir tiene que este método se aplica de modo habitual en problemas de Astronomía. Veamos un caso. He dicho que tanto el Sol como La Luna se ven bajo ángulos de 0,5º. Esto no es rigurosamente así pues las distancias de nuestro planeta a ambos cuerpos celestes y vecinos varían. En el caso de La Luna el ángulo bajo el que la vemos cuando está a una distancia media de 384.400 Km. (es decir ni la más corta, ni la más larga); es de 0,5179º. Volvamos pues a nuestra moneda de un euro y la situaremos a una distancia tal que se vea bajo un ángulo de 0,5179º. En este caso la hemos de situar como sin duda sabe cualquier estudiante de secundaria a 254,45 centímetros. Tenemos pues los siguientes datos. La moneda de un euro con un diámetro de 23 milímetros, la distancia media a La Luna que son 384.400 Km. y queremos saber a partir de estos datos el diámetro de La Luna. En este caso hay un razonamiento sencillo,que nos llevan al conocimiento del dato que buscamos. Si 384.400 km. equivalen a 254,45 centímetros; esto es al 2544,5 milímetros, ¿ a cuanto equivaldrán los 23 milímetros de la moneda?. Una simple regla de tres lo resuelve: serán 3.474,6 Km. que es en efecto el diámetro de La Luna. Un procedimiento similar se puede emplear en el caso del Sol y otros astros.

Pero no sólo en astronomía, es esencial la trigonometría, también en muchos otros ámbitos del cálculo se emplea; como por ejemplo en la topografía.  Muchas personas sienten curiosidad por saber que es lo que ven los topógrafos cuando miran a través de esos aparatos que recuerdan a las antiguas máquinas de hacer fotografías. Pues básicamente lo que ven son unos números que sirven para determinar unos ángulos y a partir de esas medidas de ángulos y de otros datos más y siguiendo un procedimiento más o menos complejo se pueden realizar por ejemplo planos de los más diversos objetos, que pueden ser una finca sencilla o una extensa labor minera.

Los planos son la herramienta que nos permite a su vez conocer otros detalles de la realidad; como por ejemplo y en el caso de una labor minera donde podemos hallar una capa.

La medida angular con la que vemos cualquier objeto es la información que nos sirve para estimar la proximidad del objeto; aunque el problema es que a simple vista no es posible ni siquiera de modo aproximado saber bajo que ángulo estamos viendo ese objeto. Por ello hemos de acudir al empleo de métodos que nos permitan conocer el valor numérico de esos ángulos bajo los cuales vemos cualquier objeto que se halle ante nuestros ojos.

Si el ojo humano estuviese dotado de unas características que nos permitiesen conocer con facilidad medidas angulares, quizá la historia del conocimiento científico de la Humanidad habría sido muy distinta de la que es pero esto es ya “harina de otro costal”.

Madrid 9 de septiembre de 2.017

Rogelio Meléndez Tercero